%\VignetteIndexEntry{Annexe Chapitre 3}
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%%%% pour les chiffres des \'equations
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\title{Rappels de statistique math\'ematique (compl\'ements du Chapitre 3)}
\author{Yves Aragon\footnote{yves.aragon@gmail.com} \cr
{\normalsize Universit\'e Toulouse 1 Capitole} }
\begin{document}
\maketitle
\renewcommand{\thefootnote}{\arabic{footnote}}
\setcounter{section}{3}


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% les diff\'erents types de graphiques
%  ancien
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\subsection*{Introduction}
\addcontentsline{toc}{subsection}{Introduction}
On a  rassembl\'e ici des notions \'el\'ementaires de statistique math\'ematique constamment utilis\'ees dans l'analyse des s\'eries temporelles :
les propri\'et\'es de base de la loi normale et un rappel sur les tests d'hypoth\`ese param\'etrique.




\subsection{Loi normale et loi de $\chi^2$}
\noindent
\textbf{Loi normale.}\index{normale (loi)} Soit $\X = [X_1,\cdots,X_n]\prim$ un vecteur al\'eatoire (v.a.)\index{v.a.}.
 $\X$ a une distribution normale multidimensionnelle (ou multivari\'ee) de param\`etres $\mu,\; n \times 1$ et
 $\Sigma= \sig{\X}{\X}\;  n \times  n$,  d\'efinie positive,
 et on \'ecrit $\X \sim \nor(\mu,\Sigma)$, si la densit\'e
de probabilit\'e du vecteur $\X$ est :
\begin{equation} \label{Nms}
f_{\X}(\x) = (2 \pi) ^{-n/2} \det (\Sigma)^{-1/2} \exp[- \frac{1}{2} (\x - \mu)\prim \Sigma^{-1}  (\x - \mu)]
\end{equation}
On montre que $\esp(\X) = \mu$ et que la matrice des covariances de $\X$ est $\cov(\X) = \Sigma$.
\\
\textbf{Loi de $\chi^2$.} La loi de $\chi^2$\index{khi-carr\'e} est une loi \`a un param\`etre, pas n\'ecessairement entier, et qui
admet une densit\'e de probabilit\'e. On a les   propri\'et\'es suivantes.
\begin{propriete} \label{prop.chi.1}
(1) La somme des carr\'es de $k$
v.a. i.i.d.\index{i.i.d.} $\nor(0,1)$ suit une loi de  $\chi^2$ \`a $k$ degr\'e de libert\'e (ddl), on la note $\chi^2(k)$.
\\
(2) La somme de deux variables al\'eatoires  ind\'ependantes, distribu\'ees  respectivement suivant des lois $\chi^2(k_1)$ et $\chi^2(k_2)$ est distribu\'ee suivant une loi de $\chi^2(k_1 + k_2)$.
\end{propriete}

\paragraph{Propri\'et\'es de la loi normale.}
\begin{propriete} \label{prop.nor.1}
Si $\X \sim \nor(\mu,\Sigma)$, $\B$ est une matrice $m \times n$, de rang $m$, et $\agra$ un vecteur r\'eel $m \times 1$, alors le vecteur
al\'eatoire
\[
\Y = \agra + \B \X
\]
suit une loi normale. Sa moyenne est $ \agra + \B \mu$ et sa matrice des covariances : $\B \Sigma \B\prim$.
\end{propriete}
\begin{propriete} \label{prop.nor.2}
$\Sigma$  \'etant d\'efinie positive, sa factorisation de Choleski  est d\'efinie : $\Sigma = \Sigma^{1/2} (\Sigma^{1/2})\prim$ o\`u $\Sigma^{1/2}$ est une matrice
triangulaire inf\'erieure. Alors la variable : $ \Z = [Z_1,\cdots,Z_n] = \Sigma^{-1/2}(\X - \mu)$ est de moyenne $0$, de matrice des covariances,
$ \Sigma^{-1/2}  \Sigma (\Sigma^{-1/2})\prim = \indic_n$,
$ \Z \sim \nor(0_{n,1},\indic_n)$. On appelle cette loi, \textit{loi normale mulivari\'ee standardis\'ee}. La densit\'e de $\Z$ est
\begin{equation}\label{N01}
f_{\Z}(\z) = (2 \pi) ^{-n/2}  \exp[- \frac{1}{2} \z\prim \z ] =
\{ (2 ~\pi)^{-1/2} \exp[- \frac{1}{2} z_1^2]\}  \cdots  \{ (2 \pi)^{-1/2} \exp[- \frac{1}{2} z_n^2] \}
\end{equation}
On reconna\^it le produit des densit\'es de  $n$ v.a. i.i.d. $\nor(0,1)$.
\end{propriete}
\begin{propriete} \label{prop.nor.3}
De  (\ref{N01}), on voit que  $\Z\prim  \Z  \sim\chi^2(n)$ , mais
\begin{equation}\label{chi2}
  \Z\prim  \Z = (\Sigma^{-1/2}(\X - \mu))\prim  \Sigma^{-1/2}(\X - \mu)= (\X - \mu)\prim \Sigma^{-1} (\X - \mu)
\end{equation}
 qui n'est autre que l'exposant de la densit\'e de la loi normale (\ref{Nms}) o\`u les valeurs $\x$ du vecteur  ont \'et\'e remplac\'ees par le v.a. $\X$. On \'enonce parfois ce r\'esultat ainsi :
  \emph{l'exposant de la densit\'e d'une v.a. normale $\nor(\mu, \Sigma)$ suit une loi}
  $\chi^2(\mbox{rang}(\Sigma))$.
\end{propriete}
\textbf{Notes.}
\begin{enumerate}[{Nor}-1.]
 \item Dans ce livre, v.a.\index{v.a.} est une abr\'eviation de "variable al\'eatoire" comme de "vecteur al\'eatoire".
 \item $A\prim$ d\'esigne la matrice transpos\'ee de la matrice $A$.


   \item On peut d\'efinir une loi normale m\^eme si la matrice des covariances n'est pas inversible, mais seulement semi-d\'efinie positive. On dit alors que la loi est \emph{d\'eg\'en\'er\'ee}.
\end{enumerate}

\paragraph{Loi normale conditionnelle}
Consid\'erons un vecteur normal $\X$, une partition de ses composantes et les partitions associ\'ees des moyenne et matrice de covariance :
\[
\X =
\begin{bmatrix}
\X^{(1)}\\
\X^{(2)}
\end{bmatrix}
\;
\underset{n_1 \times 1}{\X^{(1)}}, \; \underset{n_2 \times 1}{\X^{(2)}}, \;\; \mu =  \begin{bmatrix}
\mu^{(1)}\\
\mu^{(2)}
\end{bmatrix}
\;
\Sigma =  \begin{bmatrix}
\Sigma_{1  1} & \Sigma_{1 2} \\
\Sigma_{2  1} & \Sigma_{2 2}
\end{bmatrix}
\]
La proposition suivante est souvent utilis\'ee :
\begin{propriete}
\begin{description}
  \item[1] $\X^{(1)}$ et $\X^{(2)}$ sont ind\'ependants si et seulement si $ \Sigma_{2 1}=0 $
  \item[2] La distribution conditionnelle de $\X^{(1)} $ sachant que $ \X^{(2)}= \x^{(2)}$ est
\begin{equation}\label{ncondi}
\nor(\mu^{(1)}+
 \Sigma_{1 2} \Sigma_{2 2}^{-1} (\x_2 - \mu_2),\Sigma_{1  1} - \Sigma_{1 2} \Sigma_{2 2}^{-1}\Sigma_{2  1})
 \end{equation}

\end{description}
\end{propriete}


\subsection{Test d'une hypoth\`ese param\'etrique \label{test.reg}}


\paragraph{Situation pratique courante.}
Soit $X$ une v.a.. On s'int\'eresse \`a une
caract\'eristique de la loi de probabilit\'e de $X$ : moyenne, 1{\ier}
quartile, variance... Notons $\theta$ cette caract\'eristique.
C'est un nombre (ou un vecteur) non al\'eatoire inconnu.
On dispose d'autre part d'un \'echantillon d'observations \footnote{Ces observations sont ind\'ependantes en statistique classique,
mais d\'ependantes en statistique des s\'eries temporelles.}
$x_1,\cdots,x_T$  de $X$, d'o\`u on tire un estimateur de
$\theta$,
$\widehat{\theta}_T$. Dans beaucoup de situations,  on sait par le th\'eor\`eme central limite, que si
le nombre d'observations $T$ est suffisamment grand, on a
\begin{equation} \label{an.0}
\begin{gathered}
\widehat{\theta}_T \sim AN(\theta, \var(\widehat{\theta}_T))\\
\var(\widehat{\theta}_T) \xrightarrow[T \rightarrow \infty]{} 0
\end{gathered}
\end{equation}
$AN$\index{AN} signifiant "approximativement normal",\index{AN (approximativement normal)}
 et enfin on dispose d'une estimation
$\widehat{\var}(\widehat{\theta}_T)$ de $\var(\widehat{\theta}_T)$.

\paragraph{Test sur un param\`etre unidimensionnel}
On veut tester une hypoth\`ese     sur $\theta$ du genre
\begin{equation} \label{h0h1}
 H_0 : \theta = \theta_0, \mbox{~contre, par exemple, ~} H_1 : \theta < \theta_0,
\end{equation}
$H_0$ est l'hypoth\`ese nulle et $H_1$ l'hypoth\`ese alternative,
 $\theta_0$ est une valeur particuli\`ere de $\theta$.
Dans la situation (\ref{an.0}),  si $H_0$ est vraie, la statistique de test
\begin{eqnarray} \label{test.uni}
Z =
\frac{\widehat{\theta}_T-\theta_0}{s_{\widehat{\theta}_T}},
\end{eqnarray}
o\`u $s_{\widehat{\theta}_T} = \widehat{\var}(\widehat{\theta}_T)^{0.5}$, suit approximativement une loi $\nor(0,1)$, $Z \sim AN(0,1)$.
Si $Z$ prend une
valeur exceptionnellement faible  pour une variable $\nor(0,1)$, par exemple inf\'erieure \`a -2.5, $\widehat{\theta}$ prenant des valeurs proches de la vraie valeur de $\theta$,
on conclut que la valeur $\theta_0$ qu'on a retranch\'ee est plus \'elev\'ee que la vraie valeur,
 et  donc on doit alors rejeter $H_0$ au profit de $H_1$ dans  (\ref{h0h1}). La zone de
rejet\index{zone de rejet|see{r\'egion critique}} ou
r\'egion critique\index{r\'egion critique} (RC)\index{RC|see{r\'egion critique}} \footnote{La RC est l'ensemble des valeurs de la statistique de
test pour lesquelles on rejette l'hypoth\`ese nulle.}  est donc, pour le couple (\ref{h0h1}), de la forme
\[ Z < z_0.\]
Si on prend comme valeur $z_0$, la valeur $z_{\mbox{\small obs}}$
observ\'ee pour $Z$ sur l'\'echantillon, la probabilit\'e de rejeter
l'hypoth\`ese nulle alors qu'elle est vraie, est approximativement   $Pr(Z
< z_{ \mbox{\small obs}}| Z \sim \nor(0,1))$. On appelle cette probabilit\'e  \textit{niveau de signification
empirique}\index{niveau de signification
empirique} ou \textit{p-value}\index{p-value|see{niveau de signification empirique}}. La statistique $Z$ est appel\'ee t-statistique\index{t-statistique} quand on choisit $ \theta_0=0$
dans $H_0$.

\paragraph{Test sur un param\`etre multidimensionnel.}
Parfois le test porte sur un param\`etre \`a plusieurs composantes, c'est le cas  dans le test du portemanteau
 o\`u
l'on veut tester qu'un vecteur dont la loi est approximativement normale, est de moyenne nulle. C'est \'egalement le cas en r\'egression, quand on
teste qu'un vecteur de param\`etres prend une certaine valeur. On s'en sert  au chapitre 12, \textit{H\'et\'erosc\'edasticit\'e conditionnelle}.

Appelons $\underset{k \times 1}{\theta}$ le param\`etre pour lequel on dispose d'un estimateur approximativement normal et sans biais :
\[
\widehat{\theta}_T \sim AN(\theta, \Sigma_{\widehat{\theta}_T}), \;\;  \Sigma_{\widehat{\theta}_T} \xrightarrow[T \rightarrow \infty]{} 0
\]
L'hypoth\`ese nulle est :
\[ H_0 : \theta = \theta_0 \]
et l'hypoth\`ese alternative :
\[ H_1 : \theta
\neq  \theta_0.\]
Autrement dit, sous l'hypoth\`ese nulle, $\widehat{\theta}_T$  est de  moyenne $ \theta_0$. On peut tester cette hypoth\`ese \`a l'aide de
la statistique de test
\begin{equation} \label{dist.chi}
(\widehat{\theta}_T - \theta_0)\prim \Sigma_{\widehat{\theta}_T}^{-1} (\widehat{\theta}_T - \theta_0)
\end{equation}
qui suit approximativement, sous $H_0$, vu (\ref{chi2}),  une loi de $\chi^2(k)$. On rejette l'hypoth\`ese nulle pour de grandes valeurs de la statistique de test.
On appelle souvent (\ref{dist.chi}),  \emph{distance du }$\chi^2$\index{distance du $\chi^2$} entre l'estimation et la valeur th\'eorique du param\`etre. On peut la
voir comme  une
distance euclidienne pond\'er\'ee.
La distance du $\chi^2$ est d\'efinie \'egalement si la loi est d\'eg\'en\'er\'ee ; la matrice des covariances n'\'etant alors pas inversible,
 on en prend  une inverse g\'en\'eralis\'ee
qui remplace $\Sigma_{\widehat{\theta}_T}^{-1}$ dans (\ref{dist.chi}),
et le nombre de ddl est le rang de la matrice des covariances $\Sigma_{\widehat{\theta}_T}$, comme on l'a not\'e apr\`es (\ref{chi2}).

Il existe d'autres tests d'hypoth\`ese sur un param\`etre multidimensionnel qui prennent  en compte le fait que la matrice des covariances est estim\'ee.


\subsection{Mesures et tests de normalit\'e \label{sec:mesnor}}
 Rappelons d'abord les notions d'aplatissement et d'asym\'etrie.

\paragraph{Asym\'etrie.}
~\noindent
L'\textit{asym\'etrie}\index{asym\'etrie} (skewness)\index{skewness|see{asym\'etrie}} d'une distribution de probabilit\'e est mesur\'ee par
le coefficient d'asym\'etrie  :
 \[
S = \frac{\mu_3}{\mu_2^{3/2}},
 \]
o\`u $ \mu_k = \esp((X- \esp(X))^k)$ est le moment centr\'e d'ordre $k$. $S$ est sans dimension, nul  pour une distribution sym\'etrique, comme c'est le cas de la loi normale.
 Un coefficient positif indique une distribution peu dispers\'ee vers la gauche avec  une queue de distribution
 \'etal\'ee vers la droite : on dit que la distribution est
\textit{positivement asym\'etrique }
(\textit{positively skewed}),  c'est le cas de la loi log-normale. Dans une distribution positivement asym\'etrique, des valeurs sup\'erieures \`a la moyenne ont plus de chances
d'appara\^{\i}tre que des valeurs inf\'erieures \`a la moyenne.
\noindent
\paragraph{Aplatissement.}
~\noindent
L'\textit{aplatissement} (\textit{kurtose} ou \textit{kurtosis}\index{kurtosis|see{aplatissement}}) d'une distribution est mesur\'eS
par le coefficient d'aplatissement :
\[
K = \frac{\mu_4}{\mu_2^2}.
\]
 $K$ est positif et sans dimension.  Il vaut 3 pour une distribution
normale, et 1.8 pour une
distribution uniforme continue.
Un coefficient d'aplatissement \'elev\'e indique que la distribution est plut\^ot pointue \`a sa moyenne, avec n\'ecessairement
des queues de distribution \'epaisses (\textit{fat tails}).
En effet, comme l'int\'egrale sous la densit\'e vaut toujours 1, plus  la distribution est pointue pr\`es de la moyenne plus les queues de la distribution
sont charg\'ees, et donc plus le moment d'ordre 4 est important par rapport au carr\'e du moment d'ordre 2.
La distribution normale servant de r\'ef\'erence, on a introduit l'exc\`es de kurtosis : $ K - 3$.
Une distribution plus pointue que la normale est dite \textit{platykurtique}\index{platykurtique|see{aplatissement}}
et une distribution moins pointue est dite \textit{leptokurtique}\index{leptokurtique|see{aplatissement}}.

Etant donn\'e un \'echantillon de taille $n$ d'une distribution, on fabrique les estimations $\widehat{S}$ et $\widehat{K}$ de $S$ et $K$ en rempla\c{c}ant dans leur expression,
les moments th\'eoriques $ \mu_k $ par les moments
empiriques
\[
m_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^k.
\]
\\
\textbf{Illustration.}
Simulons un vecteur $x$ de 1000 observations i.i.d. $\nor(0,1)$ et calculons le coefficient d'asym\'etrie et l'exc\`es d'aplatissement   de $x$ et de $\log(x)$
(\'echantillon tir\'e suivant la  loi log-normale). 

{\small
<<sim.nor>>=
set.seed(5923)
x = rnorm(1000)
xr = exp(x)
require("TSA")
c(skewness(x), kurtosis(x))
c(skewness(xr), kurtosis(xr))
@
}
\noindent


<<label=plot.nor,fig=TRUE,echo=FALSE,eval=FALSE,height=6>>=
op = par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 3, 2, 0.5), lwd = 2)
plot(density(x), main = "", ylab = "density", xlab = "x normale")
plot(density(xr), main = "", ylab = "density", xlab = "xr log-normale")
par(op)
@
\begin{figure}
\begin{center}
<<results=tex,echo=FALSE>>=
<<bfig4>>
<<plot.nor>>
<<zfig2>>
<<bfigps4>>
<<plot.nor>>
<<zfig2>>
<<zfiginclude>>
@
\end{center}
\caption{Densit\'es d'\'echantillons tir\'es dans une loi normale (gauche) et dans une loi log-normale (droite).}\label{plot.nor}
\end{figure}

On obtient, comme on s'y attendait, des valeurs assez proches de 0 pour l'\'echantillon d'une variable normale, et, pour l'\'echantillon
d'une v.a. log-normale, une asym\'etrie tr\`es positive et un aplatissement tr\`es \'elev\'e. L'examen des estimations non-param\'etriques des densit\'es des deux \'echantillons
 port\'ees (fig. \ref{plot.nor}), permet d'associer une forme de distribution aux ordres de grandeur de ces coefficients.

\paragraph{Tests de normalit\'e d'une distribution.}
Il existe de nombreux tests de normalit\'e bas\'es par exemple sur l'\'ecart entre la distribution empirique de l'\'echantillon et une distribution
 normale, ou entre  des caract\'eristiques de la
distribution empirique de l'\'echantillon et les caract\'eristiques th\'eoriques correspondantes de la distribution normale.
Leurs puissances \footnote{La puissance d'un test est  la probabilit\'e de rejeter l'hypoth\`ese nulle
alors qu'elle est fausse.}
d\'ependent  de ce qu'est la vraie distribution et de la taille de l'\'echantillon.  D'Agostino et Stephens (1986) en contient un expos\'e d\'etaill\'e.
Dans \RR~on trouve des tests de normalit\'e dans
\pkg{fBasics}, \pkg{nortest} et \pkg{stats} notamment.
Nous allons examiner deux tests,   bas\'es sur l'\'ecart  du couple   $(\widehat{S}, \widehat{K})$  d'une distribution empirique,  \`a la valeur
th\'eorique de ce couple pour une distribution normale. Mais d'abord, nous consid\'erons  une \'evaluation graphique de la normalit\'e :
 le QQ-plot de normalit\'e.

\subparagraph{QQ-plot de normalit\'e.}
On se sert d'un  Q-Q plot\index{Q-Q plot}, litt\'eralement diagramme quantile-quantile, pour v\'erifer visuellement si un
\'echantillon $x_1, x_2, \cdots,x_n$ provient d'une distribution th\'eorique suppos\'ee.
\\
\textbf{Principe.} La plus petite observation de l'\'echantillon est le quantile empirique d'ordre $1/n$,
la deuxi\`eme plus petite est le quantile d'ordre $2/n$, $\cdots$,
la plus grande est le quantile d'ordre
$1$.  (On corrige parfois ces ordres pour ne pas avoir, pour l'ordre 1, un quantile empirique fini  correspondant \`a un quantile th\'eorique infini,
comme ce serait le cas pour la loi normale.)
La distribution th\'eorique suppos\'ee donne les quantiles th\'eoriques en ces m\^emes ordres. On construit un diagramme de dispersion
de $n$ points, un point par ordre quantile.
Un point a  pour abscisse le quantile th\'eorique
sous la loi suppos\'ee, et pour ordonn\'ee le quantile empirique de m\^eme ordre.
Plus les points d'un Q-Q plot sont align\'es, plus la distribution suppos\'ee co\"{\i}ncide avec la distribution empirique de l'\'echantillon.   Si la
 distribution suppos\'ee est normale,
on parle de Q-Q-plot de normalit\'e. Le coefficient de corr\'elation des points du Q-Q plot  fournit une mesure empirique
de la normalit\'e de l'\'echantillon.

Le choix de la distribution  suppos\'ee n'est pas restreint \`a la loi normale. Si n\'ecessaire, on estime d'apr\`es l'\'echantillon  les param\`etres de la loi suppos\'ee. L'usage des Q-Q plots est intuitif.
On se forge cette intuition en examinant des Q-Q plots d'\'echantillons simul\'es qu'on construit sous diff\'erentes distributions hypoth\'etiques.
On comprend ainsi ce qu'indique leur d\'eformation par
rapport \`a l'alignement. Les exemples de \code{qqnorm()} et de \code{qq.plot()} de \pkg{car} sont instructifs. La fonction  \code{qreference()} de \pkg{DAAG} tire un certain nombre d'\'echantillons,
5 par
d\'efaut, dans la loi normale, de m\^eme moyenne
et variance que l'\'echantillon, et  dessine les Q-Q plots de normalit\'e (\sitst).



\subparagraph{Tests bas\'es sur l'exc\`es de kurtosis et sur le coefficient d'applatissement}
~
\\
\textbf{Test dit de "Jarque-Bera".}\index{Jarque-Bera (test de)}
Sous l'hypoth\`ese que l'\'echantillon, de taille $T$, est tir\'e d'une distribution normale,   on peut montrer que
\[
JB = \frac{T}{6} ( \widehat{S}^2 + \frac{(\widehat{K}-3)^2}{4})
\]
 suit approximativement une loi de $ \chi^2(2) $.
 On rejette l'hypoth\`ese nulle de normalit\'e, pour de grandes valeurs de $JB$.
 Ce test est connu sous le nom de  test de Jarque-Bera, Jarque et Bera (1980), mais D'Agostino dans D'Agostino et Stephens (1986) indique qu'il a \'et\'e examin\'e  par
 Bowman et Shenton en 1975. Ceux-ci,
    remarquant  la lenteur de la convergence de $\widehat{S}$ vers la normalit\'e, en d\'econseillent l'emploi. C'est un
    test \textit{omnibus} : il rejette la normalit\'e
 sans distinguer si ce rejet est d\^u \`a
 l'asym\'etrie ou \`a l'aplatissement.

 \noindent
\textbf{Test de D'Agostino.}
 Le test de normalit\'e de D'Agostino\index{D'Agostino (test de)}  est  bas\'e sur des transformations des coefficients d'asym\'etrie et d'aplatissement.
 Il  \'evalue trois causes d'\'ecart \`a la normalit\'e : par l'aplatissement, par l'asym\'etrie ou la r\'eunion des deux, dans ce cas le test est  omnibus.


Nous  utilisons ces tests, notamment au  chapitre 12 \`a propos de  la mod\'elisation des rendements d'actions.
 Wikipedia (2010) pr\'esente un bon panorama  critique des
 tests de normalit\'e.




\subsubsection{Transformation pr\'ealable des donn\'ees}


\paragraph{Transformation de Box-Cox.}
La transformation de Box-Cox est une   technique pour obtenir des donn\'ees plus normales que les donn\'ees initiales.  Elle est d\'efinie pour une variable positive par :
\[
y_t(\lambda) = \frac{y_t^\lambda - 1}{\lambda},
\]
o\`u $\lambda$ est un param\`etre $ > 0$.
\\
On peut choisir  $\lambda$ \`a l'aide d'un \emph{graphique de normalit\'e de  Box-Cox} : on porte en abscisse une grille de valeurs de $\lambda$ et en ordonn\'ee  le coefficient de corr\'elation
du Q-Q-plot de normalit\'e pour la s\'erie transform\'ee par les $\lambda$ correspondants ; on choisit le $\lambda$ qui correspond au maximum. Notons que si $\lambda \rightarrow  0$,  la transformation
de Box-Cox tend vers la transformation $\log(.)$.

De fa\c{c}on moins sophistiqu\'ee, on peut chercher, en cas de non-normalit\'e, parmi des transformations comme : $\log(.)$, $\sqrt{.}$, une transformation qui, \`a vue,  am\'eliore la normalit\'e.


\paragraph{Stabilisation de la variance.}
Le chronogramme des  s\'eries temporelles montre souvent une \'evolution en entonnoir : la s\'erie est croissante et les fluctuations ont de plus en plus d'ampleur au cours du temps.
Sch\'ematiquement, on a affaire \`a une  s\'erie $\{Y_t\}$ dont la moyenne, $\mu_t$, varie avec le
temps de fa\c{c}on d\'eterministe  et dont  la variance   d\'epend du niveau moyen :
\[
Y_t = \mu_t + U_t
\]
avec $\var(U_t) = h^2(\mu_t) \sigma^2$ pour une certaine fonction $h$, c'est une forme d'h\'et\'erosc\'edasticit\'e. Pour traiter cette situation
on cherche une transformation $g()$ telle que $\var(g(Y_t)) \simeq \texttt{constante}$. C'est la technique dite
de \textit{stabilisation de la variance}\index{stabilisation de la variance}.
\\
Par lin\'earisation, {\ie} par un d\'eveloppement de Taylor \`a l'ordre 1 au voisinage de la moyenne de $Y_t$, et sous certaines conditions, on a :
\[
 g(Y_t) \simeq g(\mu_t) + (Y_t - \mu_t) g\prim(\mu_t)
\]
et
\[
\var( g(Y_t)) \simeq  [g\prim(\mu_t)]^2  \var(Y_t)
\]
On cherche donc $g()$ telle que $  g\prim(x) = 1/ h(x)$. Par exemple, pour $h(x) = x,\;\ g\prim(x)=1/x$ et donc $g(x) = \log(x)$, pour $h(x) = \sqrt{x},\ g\prim(x)=1/\sqrt{x}$ et donc $g(x) =
\sqrt{x}$. Notons qu'ici l'aspect temporel joue un r\^ole mineur, le seul
aspect important est la d\'ependance de la variance par rapport \`a la moyenne. On choisit $h(.)$  d'apr\`es le chronogramme de la s\'erie.

Observons que
ces transformations, Box-Cox ou autres,  ne sont pas lin\'eaires et donc la moyenne de la s\'erie transform\'ee n'est pas la transform\'ee de la moyenne de la s\'erie initiale. Ce point sera repris dans le traitement
de la s\'erie \code{log(kwh)}, au chapitre 10, \textit{Consommation d'\'electricit\'e}.

\subsection*{Bibliographie}
Jarque C.M. et Bera A.K. (1980). Efficient tests for normality, homoscedasticity
and serial independence of regression residuals. Economics Letters, 6, 255-259. \newline

D'Agostino R.B. et Stephens M., (Eds.) (1986). Goodness-of-Fit Techniques. Marcel
Dekker.

\end{document}



